المتتاليات الهندسية
1تعريف المتتاليات الهندسية
2- مثال
3-عبارة الحد العام للمتتالية
3- مجموع حدود متتابعة من متتالية هندسية
الرياضيات والاقتصاد: المتتاليات والمتسلسلات الهندسية
تعريف المتتالية الهندسية
المتتالية الهندسية هي سلسلة من الأرقام يكون فيها النسبة بين كل حد والحد السابق له مباشرة نسبة ثابتة تُعرف بأساس المتتالية الهندسية.
### قاعدة المتتالية الهندسية
إذا كان الحد الأول من المتتالية الهندسية هو \(a\) وأساسها \(r\)، فإن الحد العام للمتتالية الهندسية يُعطى بالصيغة:
\[u_n = a \times r^{n-1}\]
## مثال على المتتالية الهندسية
### السؤال
ما هو ترتيب الحد الذي قيمته 1215 في المتتالية الهندسية: 5، 15، 45، ...؟
### الحل
1. نُفرض أن الحد الذي قيمته 1215 هو \(u_n\)، حيث \(a = 5\) و\(r = 3\).
2. لدينا المعادلة:
\[1215 = 5 \times 3^{n-1}\]
3. بقسمة الطرفين على 5:
\[243 = 3^{n-1}\]
4. بما أن الأساسات متساوية، إذن الأسس متساوية:
\[n - 1 = 5 \implies n = 6\]
الحد الذي قيمته 1215 هو الحد السادس في المتتالية.
الأوساط الهندسية
تعريف الوسط الهندسي
الوسط الهندسي للعددين \(a\) و\(b\) هو العدد \(c\) بحيث تكون \(a\) و\(c\) و\(b\) متتالية هندسية.
مثال على الوسط الهندسي
السؤال
ما هو الوسط الهندسي للعددين 4 و9؟
الحل
1. نفرض أن الوسط الهندسي هو \(c\) بحيث تكون المتتالية 4، \(c\)، 9.
2. من التعريف، لدينا:
\[\frac{c}{4} = \frac{9}{c}\]
3. بضرب الطرفين في \(c\):
\[c^2 = 36 \implies c = \pm 6\]
4. إذن، يوجد وسطان هندسيان للعددين 4 و9، هما 6 و-6.
القاعدة العامة للوسط الهندسي
بشكل عام، إذا كان \(c\) هو الوسط الهندسي للعددين \(a\) و\(b\)، فإن:
\[c^2 = a \times b\]
بهذا الشكل، نكون قد استعرضنا بشكل مبسط وشامل مفهوم المتتاليات والمتسلسلات الهندسية مع أمثلة عملية توضح كيفية حساب الحدود والأوساط الهندسية.